科目代码 | 719 | 科目名称 | 分析 | ||
一、考试内容范围 | |||||
基本要求:熟练掌握数学分析课程的内容,并能够熟练掌握常微分方程、复变函数、实变函数三门课程中的两门。总分为150分, 主要包括如下内容： 数学分析： 实数系基本定理，极限与连续，微分/导数及其应用,不定积分,定积分,反常积分,数项级数以及函数项级数,Taylor展式和插值多项式,无穷乘积,n 维欧氏空间,多元函数的极限与连续, 多元函数微分学,多元函数积分学(重积分,曲线曲面积分,场论),含参变量积分(特别,含Euler积分),Fourier级数,Fourier变换
常微分方程 一阶常微分方程的初等解法, 一阶常微分方程解的存在唯一性, 解对初值的连续可微性, 二阶常微分方程的边值问题, 高阶线性常微分方程和线性常微分方程组, 平面系统定性理论初步。
复变函数： 全纯函数及其基本性质，交比和分式线性变换，基本初等函数，多值函数单值支，Cauchy积分理论及其应用，幂级数和Laurent级数，零点和唯一性定理，孤立奇点，留数定理和积分计算，辐角原理及其应用，最大模原理和Schwarz引理，调和函数，均值公式和Poisson公式, 共形映射和Riemann映射定理。
实变函数: 上限集与下限集, 特征函数, 势(基数), 可列集与连续点集, 直线上开集与完全集, 环与sigma环, 单调类, 环上测度与其延拓, Lebesgue测度与其性质, Borel集与Lebesgue可测集, 可测函数, 测度空间, 几乎处处成立的性质, 依测度收敛, Lebesgue可测函数与连续函数的关系, 积分与其性质, Lebesgue积分与Riemann积分的关系, 积分极限定理, 复值可积函数, 乘积测度, 累次积分, 有界变差函数,几乎处处可微性, 全连续函数, 跳跃函数, 奇异函数, Lebesgue-Stieltjes测度与积分, 广义测度, Radon-Nikodym导数.
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二、试卷结构 | |||||
数学分析: 90分,必考,填空题,计算题, 证明题. 常微分方程:30分,选考,计算题,证明题。 复变函数：30分，选考，计算题，证明题。 实变函数: 30分，选考，计算题, 证明题.
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三、参考书目 | |||||
作者 | 书名 | 出版社 | 出版时间 | 版次 | 备注 |
陈纪修、 於崇华、 金路 | 数学分析 | 高等教育出版社 | 2004年 | 第二版 |
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丁同仁、李承治 | 常微分方程 | 高等教育出版社 | 2005年 | 第二版 |
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张锦豪、邱维元 | 复变函数论 | 高等教育出版社 | 2001年 |
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夏道行、 吴卓人、 严绍宗、 舒五昌 | 实变函数论与泛函分析(上册) | 高等教育出版社 | 2010年1月 | 第2版 |
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